Bộ điều khiển PID số

Bài viết này là để nhằm đáp ứng yêu cầu nâng cao hiểu biết về bộ điều khiển PID nói chung cho những người mới làm quen với bộ điều khiển này, cũng như việc thực hiện một bộ điều khiển PID số. Việc lý giải vai trò của các thành phần P, I, và D trong bộ điều khiển PID tương tự có thể có đôi chút khó khăn do chúng liên quan đến các biểu thức toán học với các thành phần tích phân và đạo hàm. Bù lại, việc khảo sát vai trò của các thành phần đó khi được viết dưới dạng sai phân lại dễ dàng hơn rất nhiều.

Để cho đơn giản, trong bài viết này các công thức toán học diễn giải bộ điều khiển PID sẽ chỉ được nêu ra dưới dạng ngắn gọn nhất có thể. Sau khi có được dạng sai phân của các thành phần I và D chúng ta sẽ khảo sát các thành phần này một cách kỹ lưỡng hơn để hiểu rõ vai trò của chúng trong bộ điều khiển PID. Từ đó đưa ra các chú ý về việc ứng dụng các bộ điều khiển PID trong thực tế chẳng hạn như: tại sao các bộ điều khiển kiểu PI lại thường được sử dụng cho các đối tượng có đáp ứng nhanh? (như các bộ điều khiển dòng điện, tốc độ…). Tại sao các bộ điều khiển kiểu PD lại thường được sử dụng cho các đối tượng có đáp ứng chậm? (như điều khiển nhiệt độ)…

Khái niệm

Gọi e(t)e(t) là sai số giữa tín hiệu mong muốn (reference value) r(t)r(t) và tín hiệu đo (measurement value) y(t)y(t).

e(t)=r(t)y(t)(1)e(t) = r(t) - y(t) (1)

Luật điều khiển PID là thuật tính toán tín hiệu điều khiển dựa trên các tham số hệ thống và tín hiệu sai số và được biểu diễn như sau [1]:

u(t)=Kp[e(t)+1Tiint0te(t)dt+Tdde(t)dt](2)u(t) = K_{p} \left[e(t) + \frac{1}{T_{i}} int_{0}^{t} e(t)dt + T_{d} \frac{de(t)}{dt} \right] (2)

trong đó KpK_{p} là hệ số tỷ lệ, TiT_{i}TdT_{d} lần lượt là các hệ số tích phân và vi phân.

Dạng sai phân

Cách thức đơn giản nhất để thực hiện bộ điều khiển PID số là sử dụng các công thức xấp xỉ tích phân lùi backward integral approximation)

0te(t)dtk=1nTe(kT)(3)\int_{0}^{t} e(t)dt \approx \sum_{k=1}^{n} T e(kT) (3)

và vi phân lùi (backward difference approximation)

de(t)dte(kT)e(kTT)T.(4)\frac{de(t)}{dt} \approx \frac{e(kT) - e(kT - T)}{T}. (4)

Khi đó phương trình (2) trở thành

u(kT)=Kp[e(kT)+TTik=1ne(kT)+Tde(kT)e(kTT)T]+u0.(5)u(kT) = K_{p} \left[e(kT) + \frac{T}{T_{i}} \sum_{k=1}^{n} e(kT) + T_{d} \frac{e(kT) - e(kT - T)}{T} \right] + u_{0}. (5)

Thực hiện bộ điều khiển PID số

Từ phương trình (5) ta có thể viết được các phương trình sau (tham khảo thêm các phương pháp khác ở đây).

uk=Kpek+Kiek+ui,k1+Kd(ekek1) =up,k+ui,k+ud,k(6)\begin{array}{rl}u_{k} &= K_{p}e_{k} + K_{i} e_{k} + u_{i, k-1} + K_{d}(e_{k} - e_{k-1}) \ &= u_{p,k} + u_{i,k} + u_{d,k} \end{array} (6)

Trong đó:

up,k=Kpek,ui,k=Kiek+ui,k1,ud,k=Kd(ekek1),Ki=KpTTi,Kd=KpTdT.u_{p,k} = K_{p}e_{k}, u_{i,k} = K_{i} e_{k} + u_{i, k-1}, u_{d, k} = K_{d}(e_{k} - e_{k-1}), K_{i} = \frac{K_{p}T}{T_{i}}, K_{d} = \frac{K_{p}T_{d}}{T}.

Các quy luật điều chỉnh

Trong phần này ta sẽ nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số P, I và D đến các đáp ứng của hệ thống. Từ đó có thể hiểu rõ được ý nghĩa của chúng trong công việc điều chỉnh các tham số đó sau này. Các lý giải sau đây chỉ thuần túy ở khía cạnh kỹ thuật. Các lý giải mang tính lý thuyết chặt chẽ có thể tìm thấy trong các tài liệu khác, ví dụ như [2], [3], [3], [4]…

Quy luật điều chỉnh P

Từ công thức (6), nếu cho Ki=0K_{i}=0Kd=0K_{d}=0 thì tín hiệu ra của bộ điều khiển có dạng u(t)=Kpe(t)u(t) = K_{p}e(t) .Nghĩa là tín hiệu ra của bộ điều khiển chỉ đơn giản là tích của hệ số tỷ lệ và sai lệch giữa tín hiệu đặt và tín hiệu thực. Giả sử bài toán ở đây là điều khiển tốc độ động cơ với tín hiệu đặt tốc độ là r=1000 vòng/phút, Kp=15K_{p} = 15. Ta thử khảo sát xem sự biến thiên của tín hiệu ra của bộ điều khiển theo thời gian sẽ như thế nào.

Giả thiết tại thời điểm t=0 tín hiệu ra của hệ thống y=0. Khi đó, tín hiệu sai lệch sẽ là e=ry=1000e=r-y=1000.

Đầu ra của bộ điều khiển là: u=Kp×e=15×1000=1500u = K_{p}\times e = 15\times 1000 = 1500.

Tín hiệu này sẽ được đưa đến đầu vào của đối tượng cần điều khiển làm cho đầu ra y của nó bắt đầu tăng lên, dẫn đến e bắt đầu giảm. Trong một số trường hợp, do quán tính của hệ thống, khi sai lệch e=0e=0 (nghĩa là đầu ra y đã bằng với giá trị đặt r) làm cho u=Kp×e=0u = K_{p} \times e = 0 nhưng tốc độ của động cơ vẫn tiếp tục gia tăng.

Khi tốc độ vượt quá tốc độ đặt thì tín hiệu ra u của bộ điều khiển đảo chiều, đồng thời quán tính của hệ cũng giảm dần làm cho tốc độ càng giảm nhanh. Khi tốc độ giảm xuống dưới tốc độ đặt thì tín hiệu ra u của bộ điều khiển lại lớn hơn 0, làm cho tốc độ lại tăng lên nhưng với quán tính nhỏ hơn…

Sau một vài chu kỳ dao động như trên thì tốc độ động cơ sẽ ổn định ở một giá trị nào đó, phụ thuộc vào các tham số của hệ thống. Sai lệch tĩnh Đối với quy luật điều chỉnh P, khi tốc độ của động cơ bằng với tốc độ đặt e=0 thì tín hiệu điều khiển u=Kpeu=K_{p}e cũng bằng 0 và, do đó, tốc độ động cơ sẽ bị kéo giảm xuống. Vì vậy, muốn u0u \neq 0 thì e phải khác 0. Nghĩa là phải luôn có một sai lệch giữa tín hiệu đặt và tín hiệu đầu ra thực tế của tín hiệu điều khiển.

Trong ví dụ trên, giả sử sau khi ổn định thì tốc độ động cơ đạt 970 vòng/phút thì sai lệch tĩnh sẽ là e=1000970=30e = 1000 - 970 = 30 vòng/phút và tín hiệu ra của bộ điều khiển sẽ là u=Kpe=15×30=450.u = K_{p}e = 15 \times 30 = 450.

Giảm sai lệch tĩnh

Nếu tăng KpK_{p} lên 150 chẳng hạn thì sai lệch tĩnh e chỉ cần bằng 3 là có thể đủ để tạo ra một tín hiệu điều khiển bằng 450 để duy trì một mômen đủ lớn giữ cho động cơ quay. Rõ ràng, khi tăng KpK_{p} thì có thể làm giảm được sai lệch tĩnh. Tuy nhiên, nếu KpK_{p} tăng quá lớn thì hệ có thể bị dao động, không ổn định.

Quy luật điều chỉnh PI

Quy luật điều chỉnh P có ưu điểm là tác động nhanh. Tín hiệu điều khiển phụ thuộc trực tiếp vào sai lệch giữa tín hiệu đặt và tín hiệu thực. Tuy nhiên, khi sai lệch bằng 0 thì tín hiệu điều khiển cũng mất nên luôn tồn tại sai lệch tĩnh như đã nói ở trên. Vậy làm thế nào để triệt tiêu sai lệch tĩnh? Câu trả lời là phải đưa ra tín hiệu điều khiển cho đến khi nào sai lệch tĩnh bằng 0 thì giữ nguyên giá trị điều khiển đó. Đây chính là đặc tính của khâu tích phân với tín hiệu ra được viết lại như sau: ui,k=Kiek+ui,k1u_{i,k} = K_{i}e_{k} + u_{i,k-1}

Giả sử tại thời điểm k=0ui,0=0.k=0 u_{i,0} = 0. Tại thời điểm k=1 thì ui,1=Kie1+ui,0=Kie1u_{i,1} = K_{i}e_{1} + u_{i,0} = K_{i}e_{1} tương tự như bộ điều khiển kiểu P. Tại thời điểm tiếp theo ui,2=Kie2+ui,1u_{i,2} = K_{i}e_{2} + u_{i,1} và cứ như vậy tín hiệu điều khiển lần sau bằng tín hiệu điều khiển ở lần trước đó cộng đại số với tích giữa hệ số tích phân và sai lệch làm cho sai lệch e (dương hoặc âm) giảm dần (hệ ổn định).

Giả sử tại thời điểm k=n sai lệch ek=0e_{k}=0. Khi đó ui,n=ui,n1u_{i,n} = u_{i,n-1} (rồi ui,n+1=ui,nu_{i,n+1} = u_{i,n}…).

Nghĩa là ui,ku_{i,k} sẽ không thay đổi nữa khi ek=0e_{k} = 0. Với bài toán điều khiển tốc độ động cơ với tốc độ đặt là r=1000 vòng/phút, giả sử Ki=0.25K_{i} = 0.25 ta thấy: Giả thiết tại thời điểm t=0ui,0=0t=0 u_{i,0} = 0.

Nếu tại thời điểm t = 1 mà y1=200y_{1} = 200 thì e1=ry1=1000200=800e_{1} = r - y_{1} = 1000 - 200 = 800 và tín hiệu ra của bộ điều khiển sẽ là ui,1=Kie1+ui,0=0.25×800+0=200u_{i,1} = K_{i}e_{1} + u_{i,0} = 0.25 \times 800 + 0 = 200. Tín hiệu này sẽ được đưa đến đầu vào của đối tượng cần điều khiển làm cho đầu ra y của nó tiếp tục tăng, dẫn đến e bắt đầu giảm.

Tại thời điểm t=2 giả sử y2=500y_{2} = 500 thì e2=ry2=1000500=500e_{2} = r - y_{2} = 1000 - 500 = 500 và tín hiệu ra của bộ điều khiển sẽ là ui,2=Kie2+ui,1=0.25×500+200=125+200=325u_{i,2} = K_{i}e_{2} + u_{i,1} = 0.25 \times 500 + 200 = 125 + 200 = 325 (giá trị ui,1=200u_{i,1} = 200 của chu kỳ điều khiển trước được cộng thêm 125). Đầu ra y tiếp tục tăng.

Tại thời điểm t=3 giả sử y3=800y_{3} = 800 thì e3=ry3=1000800=200e_{3} = r - y_{3} = 1000 - 800 = 200 và tín hiệu ra của bộ điều khiển sẽ là ui,3=Kie3+ui,2=0.25times200+325=50+325=375u_{i,3} = K_{i}e_{3} + u_{i,2} = 0.25 times 200 + 325 = 50 + 325 = 375 (giá trị ui,2=325u_{i,2} = 325 của chu kỳ điều khiển trước được cộng thêm 50). Đầu ra y tiếp tục tăng.

Tại thời điểm t=4 giả sử y3=900y_{3} = 900 thì e4=ry4=1000900=100e_{4} = r - y_{4} = 1000 - 900 = 100 và tín hiệu ra của bộ điều khiển sẽ là ui,4=Kie4+ui,3=0.25×100+375=25+375=400u_{i,4} = K_{i}e_{4} + u_{i,3} = 0.25 \times 100 + 375 = 25 + 375 = 400 (giá trị ui,3=375u_{i,3} = 375 của chu kỳ điều khiển trước được cộng thêm 25). Đầu ra y tiếp tục tăng.

Tại thời điểm t=5t=5 giả sử đầu ra đã bám theo đầu vào, nghĩa là y5=1000y_{5} = 1000 thì e5=ry5=10001000=0e_{5} = r - y_{5} = 1000 - 1000 = 0 và tín hiệu ra của bộ điều khiển sẽ là ui,5=Kie5+ui,4=0.25×0+400=400u_{i,5} = K_{i}e_{5} + u_{i,4} = 0.25 \times 0 + 400 = 400 (tín hiệu ra của bộ điều khiển được giữ nguyên giá trị ui,4=400u_{i,4} = 400 của chu kỳ điều khiển trước). Tín hiệu đầu ra bộ điều khiển không thay đổi và tốc độ được giữ nguyên.

Giả sử tại thời điểm t=6 tốc độ y6=1100y_{6} = 1100 thì e6=ry6=10001100=100e_{6} = r - y_{6} = 1000 - 1100 = -100. Tín hiệu ra của bộ điều khiển sẽ là ui,6=Kie6+ui,5=0.25×100+400=25+400=375u_{i,6} = K_{i}e_{6} + u_{i,5} = 0.25 \times -100 + 400 = -25 + 400 = 375(tín hiệu ra của bộ điều khiển đã được bớt đi giá trị -25 so với chu kỳ điều khiển trước). Tín hiệu đầu ra bộ điều khiển giảm làm cho tốc độ động cơ cũng giảm xuống.

Như vậy, nếu tại thời điểm t=nt=n đầu ra bám kịp tín hiệu đặt (sai lệch bằng 0) thì tín hiệu ra của bộ điều khiển ui,nu_{i,n} cũng sẽ không đổi. Tại bất kỳ một thời điểm nào nếu sai lệch lại khác 0 thì tín hiệu ra của bộ điều khiển lại tiếp tục thay đổi nhằm kéo đầu ra bám theo tín hiệu đặt.

Tác động chậm

Việc “thêm, bớt” nói trên làm cho eke_{k} nhỏ dần và giá trị “thêm, bớt” KiekK_{i}e_{k} cũng nhỏ dần… Quá trình đó diễn ra liên tục cho đến khi đáp ứng đầu ra của hệ bằng với giá trị đặt hay ek=0e_{k} = 0. Khi KiK_{i} càng lớn thì đáp ứng đầu ra càng nhanh đạt đến giá trị gần với giá trị mong muốn nhưng quá trình “thêm, bớt” để cho giá trị sai lệch tiến về 0 lại diễn ra càng châm, làm cho thời gian điều khiển kéo dài. Cần lưu ý ở đây là “chậm” tiến về giá trị đặt chứ còn tại thời điểm đầu thì đáp ứng của khâu I vẫn bám rất nhanh tới giá trị đặt nếu KiK_{i} lớn (cũng giống hệt như tác động điều chỉnh kiểu P).

Như vậy, kết hợp tác động nhanh của khâu P và khả năng triệt tiêu sai lệnh tĩnh của khâu I ta sẽ có được một bộ điều khiển kiểu PI được sử dụng rất rộng rãi trong công nghiệp.

Quy luật điều chỉnh PD

Xét quy luật điều chỉnh kiểu D, trong đó: ud,k=Kd(ekek1)u_{d, k} = K_{d}(e_{k} - e_{k-1}) Giả sử tại thời điểm k=0e0=0k=0 e_{0} = 0. Tại thời điểm k=1 thì ud,1=Kd(e1e0)=Kde1u_{d,1} = K_{d}(e_{1} - e_{0}) = K_{d}e_{1} tương tự như bộ điều khiển kiểu P. Tại thời điểm tiếp theo ud,2=Kd(e2e1)u_{d,2} = K_{d}(e_{2} - e_{1}), nghĩa là tín hiệu điều khiển lần sau bằng tích đại số của hệ số vi phân và hiệu sai lệch giữa hai lần liên tiếp.

Tính tác động nhanh

Quay trở lại bài toán điều khiển tốc độ động cơ với tốc độ đặt là r=1000r=1000 vòng/phút.

Giả sử tại thời điểm k1k-1 động cơ đang quay với tốc độ là y=1200y=1200 vòng/phút, nghĩa là sai lệch ek1=10001200=200e_{k-1} = 1000-1200 = -200. Giải tử tại thời điểm k tốc độ động cơ đột ngột giảm xuống còn 800 vòng/phút, nghĩa là sai lệch ek=1000800=200e_{k} = 1000-800 = 200. Khi đó ud,k=Kd(ekek1)=Kd(200+200)=Kd×400.u_{d,k} = K_{d}(e_{k} e_{k-1}) = K_{d}(200+200) = K_{d} \times 400. Nếu so sánh với bộ điều khiển kiểu P thì cũng tại thời điểm k này tín hiệu điều khiển sẽ là up,k=Kpek=Kp×(1000800)=Kp×200.u_{p,k} = K_{p}e_{k} = K_{p}\times (1000-800) = K_{p}\times 200. Như vậy, bộ quy luật điều khiển kiểu D này còn tác động nhanh hơn cả kiểu P.

Tính tắt nhanh

Điều gì xảy ra khi đầu ra của hệ thống không thay đổi trong hai chu kỳ lấy mẫu liên tiếp?

Ví dụ, tại thời điểm k-1 động cơ đang quay với tốc độ là y=900 vòng/phút, nghĩa là sai lệch ek1=1000900=100e_{k-1} = 1000-900 = 100 và ở thời điểm k động cơ vẫn quay với tốc độ là y=900 vòng/phút hay ek=100e_{k} = 100. Khi đó ud,k=Kd(ekek1)=Kd(100100)=0u_{d,k} = K_{d}(e_{k} - e_{k-1}) = K_{d}(100 - 100) = 0. Điều này phản ánh đúng bản chất của quy luật điều khiển kiểu D: tín hiệu ra tỷ lệ với tốc độ biến thiên của sai lệch. Khi sai lệch vẫn còn nhưng không thay đổi thì tín hiệu ra của bộ điều khiển bằng 0. Vì vậy, cần kết hợp quy luật P và D để có được một bộ điều khiển có thể được sử dụng trong thực tế.

Quy luật điều chỉnh PID

Rõ ràng việc phối hợp các đặc tính P, I, và D sẽ cho chúng ta khả năng thiết kế được một bộ điều khiển PID phù hợp với các đối tượng cần điều khiển khác nhau.

Sử dụng bộ điều khiển PID

Một vấn đề cần được đặt ra là trong trường hợp nào thì nên dùng bộ điều khiển kiểu P, PI, PD hay PID?

Với các đối tượng có đáp ứng nhanh

Giả sử một bộ điều khiển kiểu PD được dùng để điều khiển cho một đối tượng có đáp ứng nhanh như điều khiển dòng, điều khiển tốc độ động cơ… Nếu vì một lý do nào đó (như tải tăng chẳng hạn) làm cho đầu ra của hệ thống giảm nhanh về một giá trị nào đó thì do sai lệch sau đó gần như không đổi nên khâu D sẽ gần như không có tác dụng.

Trong trường hợp này, nếu thay vì sử dụng bộ điều kiển kiểu PD ta sử dụng một bộ điều khiển kiểu PI thì tín hiệu ra của khâu vi phân sẽ liên tục được cộng dồn làm cho tín hiệu đầu ra của bộ điều khiển ngày càng lớn và có thể đủ để thắng mức độ gia tăng của tải thì sẽ làm tốc độ động cơ tiếp tục tăng trở lại giá trị đặt. Vì vậy, đối với các đối tượng có đáp ứng nhanh thì sử dụng các bộ điều khiển kiểu PI (có đáp ứng chậm) hoặc PID là phù hợp. Với các đối tượng có đáp ứng chậm

Hiện tượng Windup

Giả sử một bộ điều khiển kiểu PI được dùng để điều khiển cho một đối tượng có đáp ứng chậm như điều khiển nhiệt độ chẳng hạn. Do đáp ứng chậm nên có thể xảy ra trường hợp sai lệch giữa giá trị đặt so với giá trị thực có thể diễn ra trong thời gian dài.

Ví dụ, nhiệt độ đặt là 85^0C, nhiệt độ hiện tại của đối tượng là 35^0C và giả sử phải gia nhiệt hết công suất thì cũng phải sau 15 phút thì nhiệt độ mới đạt yêu cầu. Chú ý là tín hiệu ra của khâu Iui,k=Kiek+ui,k1I u_{i,k} = K_{i}e_{k} + u_{i,k-1} được cộng dồn liên tục do chu kỳ điều khiển k thường rất nhỏ (chỉ cỡ vài chục ms chẳng hạn). Kết quả là tín hiệu ra của khâu I cứ tăng lên mãi, vượt quá khả năng của mạch công suất nhưng do sai lệch vẫn còn lớn nên khâu I vẫn tiếp tục cộng dồn… Hiện tượng như vậy còn được gọi là Windup. Vì vậy, với bộ điều khiển có khâu I người ta có thể còn cần phải thiết kế thêm một phần để chống lại hiện tượng này và được gọi là anti windup.

Trong ví dụ này, nếu thay vì sử dụng bộ điều kiển kiểu PI ta sử dụng một bộ điều khiển kiểu PD thì tín hiệu ra của khâu D ud,k=Kd(ekek1)u_{d,k} = K_{d}(e_{k} - e_{k-1}) sẽ có giá trị không lớn, phù hợp với mức độ gia tăng dần dần của nhiệt độ đầu ra. Như vậy, đối với các đối tượng có đáp ứng chậm thì sử dụng các bộ điều khiển kiểu PD (có đáp ứng nhanh) là phù hợp.

Các trường hợp khác

Nói chung, dựa trên các phân tích ở trên có thể thấy rằng việc sử dụng một bộ điều khiển kiểu PID và chọn được các tham số phù hợp thì có thể đáp ứng được nhu cầu điều khiển cho nhiều loại đối tượng khác nhau. (Tham khảo cách thực hiện một bộ điều khiển PID số ở chuyên đề “Điều khiển tốc độ động cơ một chiều với PIC 18F452”).

Kết luận

Các thành phần P, I, và D trong bộ điều khiển PID (số) có ý nghĩa rất cụ thể và rõ ràng. Trong bài toán điều khiển bám (theo giá trị đặt), thành phần tỷ lệ P phản ứng lại ngay với sai lệch, không cần “nhớ” đáp ứng trước đó như thế nào, nhờ vậy mà nó tạo ra đáp ứng nhanh và kịp thời.

Thành phần tích phân I là thành phần “có nhớ”, nó lưu lại giá trị điều khiển của vòng lặp trước sau đó điều chỉnh thêm vào hay bớt đi một lượng nào đó (do hệ số KiK_{i} và độ lớn của sai số quyết định) để tạo ra tín hiệu điều khiển cho vòng lặp tiếp theo cho đến khi sai lệch bằng 0. Thành phần D cũng là một thành phần “có nhớ”, nó so sánh mức độ chênh lệch của sai lệch ở vòng lặp hiện tại và sai lệch được lưu ở vòng lặp trước đó để đưa ra tín hiệu điều khiển của riêng mình. Khi độ chênh giữa sai lệch của hai chu kỳ điều khiển kế tiếp càng lớn thì tín hiệu điều khiển ra của nó càng lớn (bản chất của đạo hàm). Còn nếu sai lệch của chu kỳ điều khiển hiện tại cũng giống như sai lệch ở chu kỳ điều khiển trước (nghĩa là sai lệch vẫn còn nhưng không thay đổi) thì tín hiệu điều khiển ra của nó bằng 0.

Như vậy, ba thành phần P, I, và D trong một mạch vòng điều khiển cũng tương tự như 7 nốt nhạc trong một bản nhạc. Bằng cách phối hợp các thành phần đó với những tỷ lệ khác nhau chúng ta cũng có thể tạo ra một “bản nhạc” điều khiển với các “giai điệu” khác nhau. Nếu phối hợp tốt sẽ tạo ra một bản nhạc như mong muốn và êm ái. Còn nếu phối hợp không khéo thì sẽ tạo ra một bản nhạc uốn éo, giật cục với giai điệu khó có thể biết trước được.

Tài liệu tham khảo:

  • [1] D. Ibrahim. Microcontroller Based Applied Digital Control. John Wiley & Sons, May 5, 2006.
  • [2] Nguyễn Doãn Phước. Lý thuyết điều khiển tuyến tính. NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2002.
  • [3] N.V. Hòa. Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động. Khoa học và kỹ thuật, Hà nội, 2000.
  • [4] Phạm Công Ngô. Lý thuyết điều khiển tự động. NXB Khoa học kỹ thuật Hà nội, 2001.

Theo http://www.dieukhien.net/vn/index.php?arid=1395


Đăng bởi@nvtienanh
Không gì là không thể.

GitHubTwitterFacebookLinkedIn